電験三種 理論 2023年度 下期 問2
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次の文章は,帯電した導体球に関する記述である。真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率をε0[F/m],重力加速度をg[m/s²]とする。A及びBは同じ大きさと質量m[kg]をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離l[m]となる長さである。まず,導体球A及びBにそれぞれ電荷Q[C],3Q[C]を与えて帯電させたところ,静電力による (ア) が生じ,図のようにA及びBの中心点間がd[m]離れた状態で釣り合った。ただし,導体球の直径はdに比べて十分に小さいとする。このとき,個々の導体球において,静電力F = (イ) [N],重力mg[N],糸の張力T[N],の三つの力が釣り合っている。三平方の定理よりF²+(mg)² =T²が成り立ち,張力の方向を考えると-Fは-dに等しい。これらよりTを消去し整理T 2lすると,dが満たす式として, 上記の記述中の空白箇所(ア)~(エ)に当てはまる組合せとして,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。(ア) (イ) (ウ) (エ)
正解と解説
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反発力 4π³εQ0d2 ¹⁶π3εQ⁰l2mg 増加Q² 4 l²mg
AとBはともに正の電荷なので静電力は反発力で、クーロンの法則よりF=Q×3Q/(4πε0d^2)=3Q^2/(4πε0d^2)である。図の対称性からF/T=(d/2)/l=d/(2l)であり、これとF^2+(mg)^2=T^2からTを消去するとF/mg=(d/2l)/√(1-(d/2l)^2)となり、Fを代入して整理すると係数はk=16πε0l^2mg/(3Q^2)が得られる。AとBを接触させると電荷は等しく分かれて各2Qとなり、電荷の積が3Q^2から4Q^2に増えて反発力が大きくなるので、距離dは増加する。